Ángulos y su clasificación

Área bajo la curva

SUMA DE RIEMANN

En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Si y=f(x)$y=f(x)$ es una función continua en el intervalo [a,b]$[a,b]$, y definimos un conjunto finito de puntos a=x0<x1<…<xn=b$a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$, se define la suma inferior de Riemann como

sn=∑i=1nmi(xi−xi−1),$$s_n=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1}),$$

donde mi$m_i$ es el valor más bajo que toma la función en el intervalo [xi,xi−1]$[x_i,x_{i-1}]$. Se define también la suma superior de Riemann como

Sn=∑i=1nMi(xi−xi−1),$$S_n=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1}),$$

donde Mi$M_i$ es el valor más alto que toma la función en el intervalo [xi,xi−1]$[x_i,x_{i-1}]$.

El gráfico interactivo permite visualizar ambas sumas de rectángulos para distintos valores de 

$n$.

–o+←↓↑→

A

B

C

D

E

n = 15.00

S = 16.9206

s = 13.8422

S-s = 3.0784

Cuanto mayor sea el número de rectángulos, las dos sumas se van aproximando al área bajo la curva, de manera que en el límite tenemos

limn→∞sn=limn→∞Sn.$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n.$$

A este valor del área al que tienden las dos sumas lo llamamos integral definida entre a y b, representándola como

∫baf(x)dx,$${\int }_a^{b}f(x)dx,$$

y como queda dicho, es el área encerrada entre la gráfica de la función y=f(x)$y=f(x)$, el eje de abscisas y las rectas x=a$x=a$ y x=b$x=b$.

Formulas para simplificar:

Sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0<x1<x2...<xn = b.
consideramos la partición de este intervalo P=  {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}.

Entonces la suma de Riemann de f(x) es:

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo suele ser arbitraria.

• Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. 
• Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Ejemplos:

1. Hallar el area de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la busqueda del límite de la suma de Riemann.

Se divide [-1, 2]:

La enésima suma de Riemann es: 

el área de la suma de Riemann: 

2. 

3.